「有優勢的下註叫投資，

沒優勢的下註叫賭博。 」

—— 約翰·凱利

金錢永不眠，問候各位早安。

21點算牌法源於「寬客之父」愛德華·索普（Edward O. Thorp）的著作《擊敗莊家》。他還有一本名為《戰勝一切市場的人》的傳記，由「黑天鵝之父」塔勒布親自作序。

21點玩家愛德華·索普

1958年，愛德華·索普於洛杉磯加利福尼亞大學取得數學博士學位。1959年至1961年間，於麻省理工學院擔任摩爾講座教授。在這個期間內，利用IBM 704，愛德華·索普寫作Fortran程式，將凱利公式應用於廿一點遊戲中。

在麻省理工學院期間，認識克勞德·香農，兩人共同研究以凱利公式應用在輪盤賭博上。在1961年，兩人製造出一臺小型計算機，用來計算機率。愛德華·索普穿戴著這套機器，至拉斯維加斯賭場，進行賭博，以驗證他們的公式是否正確。這可能是史上最早的可穿戴式電腦。

1961年至1965年，愛德華·索普至新墨西哥州立大學數學系任教。1965年，轉至加州大學爾灣分校數學系任教，1977年至1982年間，在財經系任教。

1967年，與證券經紀人傑伊·裏根（James Sutton Regan，1942年5月27日-）合組對沖基金。公司最早稱為可轉換對沖（Convertible Hedge Associates）公司，1974年改名普林斯頓-新港合夥（Princeton-Newport Partners）公司。

1987年12月17日，因離職員工向FBI檢舉傑伊·裏根涉嫌偽造假交易逃漏稅，普林斯頓-新港合夥公司遭到檢察官起訴。1989年宣布結束營業。

愛德華·索普之後又開立自己的公司，名為愛德華·索普（Edward Thorp Associates）資產管理公司，以獨資方式進行投資。

愛德華·索普教授有以下身份：

全球第一個量化交易對沖基金創始人

「信息論之父」香農教授的合作夥伴

數學系教授 + 賭博專家

他在60年代通過工作之余的艱苦演算（也借助了當時的計算機），發明了21點遊戲的算牌法，然後以此橫掃內華達州各大賭場：數小時就可以贏走數以十萬計的賭金——拉斯維加斯自然也沒能幸免。

延伸閱讀：21點基本策略和算牌技巧助你在賭場贏足100萬！

本文的核心思想和主要靈感來源於《擊敗莊家》和《決勝21點》。

作者希望借這樣一篇書籍+電影的衍生解析，化解一般人對數學的恐懼，幫大家更好地理解量化思維。

21點玩法規則

21點規則介紹

每家賭場都有一套21點遊戲規則，但總體而言相似度較高。

自從索普教授公開了算牌法之後，一些賭場曾試圖調整規則，但往往導致了玩家流失加劇，最終不得不回歸傳統規則。

以下是以電影《決勝21點》為例的典型規則：

玩家數量： 通常有1個莊家和1-7個玩家。

牌堆數量： 使用1副標準的52張撲克牌（不包括大小王），盡管越來越多的賭場使用2或4副牌。

發牌規則： 莊家首先給自己發2張牌，其中一張是明牌，另一張是暗牌。然後，每個玩家都會收到2張明牌。莊家的明牌使玩家能夠猜測莊家的手牌。

點數計算： 牌2到10的點數等於其面值，而J、Q和K的點數都是10。A可以被視為1點（硬牌）或11點（軟牌），這取決於玩家手中的其他牌，以確保點數不超過21點。

上述規則相對簡單，但要牌規則是遊戲的核心，它將在接下來的決策中發揮重要作用。

玩家要牌規則只有一條：

【1】發牌過後，玩家可以選擇要牌（每次1張明牌）或者跳過（停止要牌）

莊家要牌規則稍復雜些：

【1】所有玩家要牌之後，莊家揭開暗牌

【2】莊家點數不超過16時必須繼續要牌，大於等於17時必須跳過

【3】如果莊家拿到A，且按11點計算會使總點數大於等於17，又不超過21點，那麼莊家必須將該張A算作11點並停止要牌

最後，是獲勝規則：

【1】若一方總計點數超過21點，即為「爆牌」落敗

【2】玩家和莊家都沒有爆牌時，點數大者獲勝

【3】玩家和莊家都沒有爆牌而且點數相同，打平

有些賭局規則是平局算莊家贏，這會為莊家帶來可怕的9%的優勢——千萬不要參加這樣的遊戲。

延伸閱讀：破解21點莊家優勢 穩贏21點莊家的打法

21點遊戲的玩法流程

玩家下註：每局開始，玩家需要下註。玩家放置賭註後，莊家會發給玩家兩張牌，通常是明牌，自己則一張明牌一張暗牌。

玩家決策：根據玩家手中的兩張牌，玩家可以選擇以下幾種行動：

• 要牌（Hit）： 玩家可以要求再發一張牌，希望接近21點。可以一直要牌，直到手牌點數達到或超過21點，或者玩家自願停止要牌。
• 停牌（Stand）： 玩家可以選擇不再要牌，保留當前手牌。
• 分牌（Split）： 如果玩家初始手牌是一對相同點數的牌，例如兩張8，玩家可以選擇將其分成兩手並繼續玩兩局。
• 雙倍下註（Double Down）： 玩家可以選擇將下註加倍，並且只能再要一張牌。通常情況下，這只能在初始兩張牌時使用。

莊家決策：莊家在玩家都完成決策後，會翻開暗牌。莊家必須按照特定規則繼續要牌或停牌。一般來說，莊家必須在手牌點數低於17時繼續要牌，而在點數達到17或更高時停牌。

結算：一旦莊家停牌，或者莊家爆牌（手牌點數超過21點），遊戲進入結算階段。玩家和莊家的手牌點數進行比較。誰的點數更接近21點且不爆牌，誰就獲勝。如果點數相等，則是平局。

賭註支付：根據勝負結果，莊家將支付或收取玩家的賭註。通常情況下，玩家獲勝時可以得到與賭註相等的獎金。

21點的勝利手牌： 通常情況下，最佳的21點手牌是一張A和一張10點牌（10、J、Q、K），這被稱為「Blackjack」或「自然21點」。這種手牌通常會獲得更高的獎金。

由於篇幅有限，本文跳過分牌/加倍/保險等規則，直擊核心原理。

加上這些規則後，算牌法【依然有效】，只是算牌者要記憶的內容更多一些。

看完規則，感覺什麼地方不對勁了嗎？

沒看出來也沒關系，接下來進入解謎階段啦。

延伸閱讀：你不知道的21點算牌技巧公開 90%的人都賺翻了

21點牌面記憶

學數學時，我們往往需要推導出一些定理，才能更方便地進行研究和探索。

玩21點之前，我們也要從規則推導出這個遊戲的「定理」，以便更好地掌控這個遊戲。

【定理1】撲克牌是有記憶的。

有人曾說過：21點和投資，都是連接過去與未來的遊戲。

一輪發牌的結果會影響下一輪甚至下下一輪的結果，因為用的是同一副牌。

所以，21點遊戲絕對不屬於「獨立隨機過程」。

舉例來說：遊戲第一輪就出現了4張A，那麼這輪結束之後，這些牌面朝上放入牌堆底部。

第二輪從剩余的牌裏抽取，那麼從第二輪開始就沒有A，這種情況會持續到一副牌用完或者重新洗牌

——在此之前，玩法跟「牌堆有A」完全不一樣。

這就像投資者做資產配置時的相關性分析。

歷史上兩項資產相關性的高低，會影響我的配置判斷和選擇。

因為我相信「資產有記憶」，所以它們的歷史表現會影響未來。

有同學會問，莊家如果每局結束都洗牌或者換一副新牌，不就可以消除「記憶」了嗎？

你別說，賭場還真試過這招，後來主動放棄了。

因為每局洗牌耗時太長太拖沓，沒人願意來玩，帶來的損失比有人算牌還高……

根據這條定理，我們得知：

根據已經用過的牌，

可以推測即將出現的牌。

爆牌決戰時刻

​莊家比玩家更容易爆牌。

爆牌是指手牌總點數超過21點，這將導致直接輸掉這局。我們來比較一下玩家和莊家的要牌規則：

• ​玩家可以選擇是否要牌，每次可以要一張明牌或停止要牌。
• ​莊家必須在手牌點數不超過16時繼續要牌，而點數大於或等於17時必須停止要牌。

相對於玩家可以自由選擇是否要牌的權利，莊家有一定的要牌規則限製。莊家只要手牌點數不超過16，就必須要牌。

這意味著在這個遊戲中，莊家比玩家更容易爆牌！

如果還沒有完全理解，讓我來幫助你梳理一下思路。

當手牌點數不超過11時，要牌是相對安全的。因為紙牌的最大點數只有10點（10/J/Q/K），而A可以被視為1或11點，所以不會出現爆牌的情況。

然而，當手牌點數達到12至16之間時，就會出現爆牌的風險。因為莊家必須要牌，一旦抽到10點牌，就會爆牌。實際上，當莊家手牌點數為13時，抽到9點就會爆牌；當點數為14時，抽到8點就會爆牌；點數為15時，抽到7點就會爆牌；點數為16時，抽到6點就會爆牌，依此類推。

總的來說，如果牌堆中高點數的牌越多，對莊家越不利。通常，人們更關註手牌點數的大小，而忽略了爆牌的重要因素。

這個定理的思想與作者在《給我1枚硬幣》中的應用有相似之處，作者在該書中利用了「爆倉」來淘汰了984名賭徒。這次我們只是將概率思維換成了點數大小，將「爆倉」概念換成了「爆牌」，但思路基本相同。

21點之算10法

索普教授提出了多種算牌法，但其中以算10法和完全計點法（又稱高低計點法）效果最出色。

算10法是第1版《擊敗莊家》中的主要製勝策略，其核心思想與10點牌有關。一副標準的52張撲克牌可以簡單劃分為兩類：

• 16張10點牌（包括四種花色的10、J、Q、K）
• 36張其他牌

在一副全新未使用的牌堆中，這兩者的比例為36/16，即2.25。但每次發出一張牌後，剩余牌堆中的10點牌數量會減少1，從而改變這個比例。

根據定理2，如果高點數牌（如10點牌）越多，莊家破牌的概率就越高。因此，當這個比例降低時，說明剩余的牌堆中10點牌的比例增加，玩家的優勢也隨之增強。

索普教授在書中提供了不同比率裏玩家的優勢差異：

算10法中玩家的大致優勢（來源：擊敗莊家）

實戰中，你還需要結合莊家明牌點數和自己的手牌，作出是否要牌、分牌、加倍等決策，從而提升自己在這一局裏的勝率。

下圖就是算10法的完整策略表：

算10法完整策略表（來源：擊敗莊家）

為什麼要計算這麼一個比率呢？

道理很簡單——「少賠多賺」：

優勢明顯才下重註，

沒有優勢時少下註。

這個比率，就是「優勢」的晴雨表。

當比率低於2.25時，說明余牌中的10點牌較多，玩家優勢變大，可以下重註；

當比率高於2.25時，說明余牌中的10點牌較少，玩家優勢減小，最好少下註。

21點之完全計點法

完全計點法（又叫高低計點法）是與算10法完全不同的一套體系，電影《決勝21點》用的就是完全計點法。

與只考慮10點牌的算10法不同，完全計點系統將所有牌劃分成三種高低點數：+1、0、-1：

+1牌包括 2、3、4、5、6

0點牌包括7、8、9

-1牌包括10、J、Q、K、A

每見到一張牌就更新一次高低點數，比如見到如下幾張牌：

5（+1），5（+1），3（+1），8（0）

那麼合計點數是+3。

《決勝21點》裏特意用了幾分鐘的時間，借助男主第一次算牌來展現高低點數的計算，其實這只是完全計點法的冰山一角

——有了高低點數，還要算出高低索引值：

高低索引值 = 高低點數 / 剩余牌數 * 100

同時計算高低點數並追蹤剩余牌數，再實時地用除法求出索引值，並不是一件輕松的事，各位不妨拿起一副撲克牌自己試試。

接下來的事情就跟算10法很像了：結合莊家明牌點數和自己的手牌，作出是否要牌、分牌、加倍等決策。

下面兩張圖就是索普教授歸納的「完全計點法要牌策略表」：

‍完全計點法要牌策略表：硬點數

完全計點法要牌策略表：軟點數

仔細對比會發現，完全計點法從本質上和算10法十分相近。

兩者是共通的，都基於上述的兩條定理展開：

因為撲克牌有記憶，所以算10法跟蹤余牌裏兩種牌的張數，完全計點法跟蹤高低點數和剩余牌數；

因為莊家更易爆牌，所以算10法的比率越低玩家越有利，完全計點法的索引值越高玩家越有利。

到這裏，算牌法的原理已經基本解釋完。你已經可以憑借這套方法，跟朋友玩21點時大殺四方了……

等等，真實的21點裏還涉及下註——該怎麼下呢？

21點之下註和分工

在算10法的介紹裏，作者提過「有優勢時下重註，無優勢時下小註」這個基本原則。

事實上，《擊敗莊家》中沒有給出算10法的下註策略，只給出了完全計點法的下註建議：

下高低索引值一半基本單位的賭註。

也就是說，高低索引值是2或更低時，下1個單位賭註；高低索引值是4時，下2個單位；高低索引值是6時，下3個單位；以此類推。

索普教授還特意提醒：別下超過5倍的賭註，以免引起賭場懷疑。

自從索普教授出版《擊敗莊家》後，21點的系統玩家（掌握算牌法的人）越來越多，賭場的警惕性也越來越強，千方百計阻撓算牌甚至直接驅逐。

別說系統玩家，連索普教授自己，到後期也已經難以施展算牌法了。

那麼，《決勝21點》裏的算牌小組又是怎麼一回事呢？

在《決勝21點》中，算牌小組是根據真實事件改編的。事實上，這個小組是MIT（麻省理工學院）的學生們創建的，他們采用了一種團隊合作的方式來利用算牌法來在21點遊戲中擊敗莊家。以下是關於這個算牌小組的一些詳細信息：

偵查員（Spotter）：

偵查員是小組的一部分，他們分散在不同的賭桌上，並總是下最低賭註。他們的任務是開始用算牌法對這張賭桌的牌進行追蹤，當他們認為牌堆「變熱」（即有利於玩家）時，他們會發出信號，通常是一種暗示性的手勢或動作，來提醒其他小組成員。

大戶（Gorilla）：

大戶是小組中的另一類成員，他們在收到偵查員的信號後，會前往那個賭桌並下重註。他們的目標是在「熱」牌堆時獲得最大的利潤。通常，大戶不會使用算牌法，而是依賴偵查員的信息來決定何時下註。

計數員（Counter）：

計數員是小組中的成員，他們使用算牌法來準確地計算牌堆中的高低值。他們會根據計算結果來確定何時增加或減少下註金額。計數員通常會采用更激進的下註策略，但要小心不要引起賭場的懷疑。

信號員（Signalman）：

信號員是偵查員和大戶之間的聯絡人員，他們負責傳遞信號，確保信息流暢。他們通常不直接參與賭博，而是專註於傳遞信息。

這個算牌小組的成功建立在團隊協作和分工合作的基礎上，每個成員都有自己的角色和任務，以最大程度地利用算牌法來獲得優勢。然而，賭場對算牌有高度警惕，所以小組成員必須小心行事，以避免被發現。

他們的目的是在洗牌或使用新牌時就開始用算牌法對這張賭桌的牌進行追蹤，當牌堆「變熱」（玩家優勢大）時發出信號（比如雙手在背後交叉）。

（來源：決勝21點）

大贏家（Big Player）看到信號後，來到賭桌前下重註。

牌堆經過偵查員追蹤，此時已經是玩家優勢較大的局面，但下重註的是剛進場的另一個人，就不容易引起懷疑。

MIT算牌小組發明了一套暗語，好讓大贏家進場時馬上知道這張賭桌的情況（比如「甜」表示「+16」）。

（來源：決勝21點）

隨後偵查員和大贏家一邊下註一邊繼續算牌，等到牌堆「冷下來」（玩家優勢小）的時候，大贏家離桌退場。

通過這套分工體系，MIT算牌小組規避了「一個人有時重註有時小註」的可疑行為，成功躲過賭場的重重監視，一個周末卷走數十萬美金。

不平衡與可重復

到這裏，我們已經介紹了21點算牌法的一些基本原理和方法，希望大家覺得收獲滿滿。

然而，請大家務必記住，賭博是一項高風險的活動，不應當被輕視。正如在《3%優勢與算牌型投資者》中提到的，算牌可能為玩家帶來大約每局3%以上的優勢，這雖然看似微小，但足以打破系統的平衡，讓玩家在多次嘗試中趨向勝利。

然而，即使認真分析和優勢存在，也不能保證每一次投資都會盈利。成功需要耐心，需要在一次又一次的賭局中不斷努力，以提高勝算。

要記住的是，賭場數學家的奧秘並不在於一次的勝利，而在於不平衡和可重復性。

這，就是賭場數學家的奧秘。